LEAVE A COMMENT FOR US

Home > Trigonometry > Cosine Rule

Cosine Rule

In a non-right angled triangle, the cosine rule states that –

  • b2  =  a2 + c2 – 2ac cosB
  • a2  =  b2 + c2 – 2bc cosA
  • c2  =  a2 + b2 – 2ab cosC

We’ll deduct the proof of the first of the above rules below. In the triangle ABC, draw the perpendicular AD to BC, and we get two right angled triangles ABD and ADC.

cosine ruleIn DeltaABD, applying the Pythagoras Theorem, c2  =  h2 + x2, and

sinB = h/c and cosB = x/c

Therefore h = c sinB, and x = c cosB

h2  =  c2 – x2    –  Equation 1

From DeltaADC, we can obtain

h2  =  b2 – (a – x)2

h2  =  b2 – a2 + 2ax – x2    –  Equation 2

Using equations 1 and 2,

h2  =  c2 – x2  =  b2 – a2 + 2ax – x2

c2 – x2  =  b2 – a2 + 2ax – x2

c2  =  b2 – a2 + 2ax

Substituting x = c cosB,

c2  =  b2 – a2 + 2ac cosB

-b2  =  -c2 – a2 + 2ac cosB

Therefore b2  =  a2 + c2 – 2ac cosB

 

Similarly we can prove that a2  =  b2 + c2 – 2bc cosA, and c2  =  a2 + b2 – 2ab cosC.

 

Remember: We use cosine rule when all three sides and an included angle is given or is involved.

 

Now, let us look at some examples of using cosine rule

Example 1: In the triangle ABC, a =  5 cm, c = 6 cm, and angle B = 40°. What is x?example of cosine rule-1

Applying the cosine rule  b2  =  a2 + c2 – 2ac cosB

x2  =  52 + 62 – 2 x 5 x 6 x cos40°

=  25 + 36 – 60 cos40°

=  15.03733

x  =  3.88 cm

 

Example 2: In the triangle ABC, a =  6 cm, b = 5 cm, c = 3 cm. What is angle A?example of cosine rule-2

Applying the cosine rule  a2  =  b2 + c2 – 2bc cosA, and rearranging the formula, we get

cosA  =  {b^2~+~c^2~-~a^2}/{2bc}

=  {5^2~+~3^2~-~6^2}/{2~*~5~*~3}

=  {25~+~9~-~36}/15

=  -2/15

A  =  cos^-1({-2}/15)

=  97.66255566

=  97°40′  (to the nearest minute)

 

Summary of Cosine Rule

  • a2  =  b2 + c2 – 2bc cosA        or      cosA  =  {b^2~+~c^2~-~a^2}/{2bc}
  • b2  =  a2 + c2 – 2ac cosB        or      cosB  =  {a^2~+~c^2~-~b^2}/{2ac}
  • c2  =  a2 + b2 – 2ab cosC        or      cosC  =  {a^2~+~b^2~-~c^2}/{2ab}